选元对比
先看被积函数由哪些“角色”组成，再决定谁做 $u$、谁并入 $\mathrm{d}v$。定积分里选元正确与否，最直接的证据就是“新积分有没有变简单”。
当前例题
推荐选元
为什么这样选
分部后的边界项
分部后的新积分
课堂口令
定积分分部积分实验室
这一节只盯住三件事：第一，定积分分部积分和不定积分分部积分最大的区别是边界项 $[uv]_a^b$；第二，选元不是背模板，而是为了让“新的积分”更简单；第三，看到复合结构时先判断要不要换元，再决定是否分部。
边界项不能漏
选元看谁更容易求导
目标是让新积分变简单
组合题先判结构
分部后仍要回到定积分求值
复杂度观察
不是所有分部都会“越分越简单”。把推荐方案和反向方案并排比较，才能真正看清选元价值。
推荐方案后的新积分复杂度
反向选元后的新积分复杂度
对数型
通常让对数函数做 $u$，因为它求导后会变简单，而多项式或常见初等函数更适合并入 $\mathrm{d}v$。
反三角 / 幂指型
看到“反、对、幂、指、三”这类角色时，先判断谁求导能降复杂度，别机械套顺口溜。
定积分特有检查
就算选元正确，只要边界项漏代上下限，结果仍然会错，所以最后一定要回到 $[uv]_a^b$ 检查。
边界项追踪
定积分分部积分真正容易丢分的地方，不是公式写不出来，而是边界项 $[uv]_a^b$ 写了却没有完整代入。这里把“写公式、代上限、代下限、合并边界项”拆开看。
当前例题
第一步 写结构
先固定模板：$\int_a^b u\,\mathrm{d}v = [uv]_a^b - \int_a^b v\,\mathrm{d}u$。这一步先不急着算数值，先把“边界项”和“新积分”分开。
第二步 代上限与下限
把 $u(b)v(b)$ 和 $u(a)v(a)$ 分开写，避免把上下限一起塞进一行后丢号或漏项。
第三步 合并成边界项
真正的边界项就是“上限代入值减下限代入值”，然后再与新的积分合并。
收尾检查
做完分部积分后，至少过这三道口令：边界项有没有完整代入？新积分是不是更简单？最终表达式是不是仍然是一道定积分求值题而不是残缺的半成品？
1. 先问：$[uv]_a^b$ 我到底算成了“上限减下限”，还是只写了一个符号？
2. 再问：这次分部后，新积分是不是更短、更熟悉、更接近已知原函数？
3. 最后问：如果新积分还复杂，是不是应该再分部一次，或者一开始就先换元？
最常见错因
把边界项写成 $uv|_a^b$ 以后就跳过代值，或者把“减下限”漏成了“加下限”。
最稳的写法
先把 $u(b)v(b)$ 和 $u(a)v(a)$ 单独写出来，再合并，基本不会丢符号。
和不定积分的区别
不定积分分部后只留下新的积分；定积分分部后必须多带一块边界项，这正是本课的核心差异。
组合题判断
分部积分不是所有题的第一反应。看到复合结构时，要先判断是“直接分部”“先换元”“先换元再分部”还是根本不该分部。
该直接分部时
典型特征是一个部分求导会明显变简单，另一个部分容易积分，且不需要先改变量结构。
该先换元时
如果主要难点来自复合结构或凑微分，先换元把结构理顺，再看是否还有必要分部。
该先换元再分部时
先换元的目的不是多做一步，而是把题目变成“值得分部”的样子，然后再上分部积分。